关键词:多机电力系统;参考坐标系;小扰动稳定;励磁调节器分散设计;镇定条件DiscussionaboutLinearModelandApplicableCharacterofMultimachineSystemsUnderDifferentReferenceframes
Keywords:multimachinepowersystems;referenceframes;smallsignalstability;decentralizeddesignofexcitationlaws;stabilizedconditions
1前言
在多机电力系统小扰动分析和基于线性多变量控制理论的励磁调节器设计中，构造动力学系统的线性空间模型是首要的工作。在电力系统稳定分析中，常常用到4种参考坐标系：绝对功角同步旋转坐标系，相对功角同步旋转坐标系，某一机组参考系，惯性中心参考系。根据电力系统稳定的定义可知，在稳定分析中选择上述4种任何一种参考系都是可以的，而且在4种参考系下进行功角稳定分析应该得到一致的结论，不会出现因参考系选择不同而得出不同的稳定分析结果。因此，人们往往不太注意对参考系的选择，而主要关注既定参考系下的模型分析。但是，应该看到4种参考系下的数学模型所表达的物理意义确有显著差别，更为重要的是由于4种参考坐标系在表达同一动力学系统时却表现为不完全相同的代数意义稳定性，这给基于线性空间模型的励磁调节器设计工作带来繁简程度相去甚远的影响。
本文详细讨论了4种参考系下的线性状态方程的形成方法，指出在不同参考系下小扰动稳定分析结果并不完全相同。特别论述了无论实际系统稳定与否，绝对功角同步旋转坐标系下的状态矩阵总是不稳定的，并论证了它的镇定条件。还严格证明了惯性中心参考系和绝对功角同步旋转坐标系之间的非奇异变换关系，指出应用不同参考系设计励磁调节器时具有不同的可分散性。本文的讨论有利于揭示电力系统物理概念和数学模型的内在联系，有利于进行基于电力系统线性空间模型分析与控制研究时，选取合理可行的参考坐标系，进而得出具有严格数学意义和明确物理意义的结论。2几种参考系下状态方程的形成方法
2.1绝对功角同步旋转坐标系
在绝对功角同步旋转坐标系下，第i台发电机的角度、角速度均为相对于同步旋转轴的相对量。由于参考系是同步旋转轴，这时的功角和角速度通常称为绝对功角和绝对角速度。在形成状态方程时，应首先确定同步旋转坐标系的x轴正方向，原则上可任取。但一般选为潮流计算时平衡节点的电压相量的方向。然后通过潮流计算得到运行点处的状态变量和非状态变量初值，在运行点处完成偏差化、线性化得到线性化状态方程。设系统有n台发电机，发电机取三阶模型，励磁系统为静止快速励磁方式，取一阶惯性模型。则每台发电机有4个状态变量，即δi、ωi、Eqi、Efdi，系统状态方程维数为4n。基于这个参考系的状态方程如下（以下各式所用符号均为电力系统习惯用符号，不再赘述其含义）：
4n方阵，是系统状态矩阵；B0为4n×4n矩阵，是系统控制矩阵。
2.2相对功角同步旋转坐标系
相对功角同步旋转坐标系是各发电机功角取以系统内某一台发电机为参考的相对量，但角速度仍然以同步转速为参考，即绝对角速度。相对功角同步旋转坐标系下的状态方程可由绝对功角同步旋转坐标系下的状态方程式（1）得到。
方法如下：首先确定功角参考机，不妨取第n台机为功角参考机；对式（1）所包含的4n个方程从1至4n编号，然后以第4i-3个方程减去第4n-3个方程（i=1，2，…，n-1）；最后摈弃第4n-3个方程，即得到相对功角同步旋转坐标系下的状态方程。
写成矩阵形式
2.3某一机组参考系
在电力系统稳定分析中，还常常以系统内某一机组转子轴系为参考，除参考机外，所有发电机的功角和角速度均为与参考机的相对值，即相对功角、相对角速度。某一机组参考系下的状态方程也可由式（1）得到。
方法如下：首先确定参考机，不妨取第n台机为参考机；对式（1）所包含的4n个方程从1至4n编号，然后以第4i-3个方程减去第4n-3个方程，再以第4i-2个方程减去第4n-2个方程（i=1，2，…，n-1）；最后摈弃第4n-3、第4n-2个方程。即得到以某一机组为参考坐标系的状态方程
A2为(4n-2)×(4n-2)方阵，是系统的状态矩阵；B2为(4n-2)×n矩阵，是系统的控制矩阵。
2.4惯性中心参考系
在惯性中心参考系下，所有发电机的功角和角速度都是相对与惯性中心的。惯性中心的参考角度δ0和参考转速ω0由下式决定
当取系统惯性中心作参考时，各发电机转子角度和转速可分别表示为
为了得到惯性中心参考系下的状态方程，引入中间向量
比较中间向量Xm和绝对功角同步旋转坐标系下的向量X0可以看出，两个向量仅仅是分量的排列顺序不同。因此有
显然，Tc也是非奇异阵。
由式（5）、（6）可得
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